DorFuchs - Kugel: Volumen und Oberfläche lyrics

[Hook] Ich hab die Formel fürs Volumen einer Kugel dabei: Vier Drittel Pi mal r hoch drei Für den Oberflächeninhalt hab ich auch was parat 4 Pi mal r Quadrat Wir schneiden mal ne Halbkugel in einer bestimmten Höhe auf Und da kommt dann natürlich ein Kreis heraus Und dessen Radius nennen wir mal a Und mit dem Radius der Kugel und der Höhe h Ist das ein rechtwinkliges Dreieck und es gilt nach Pythagoras A Quadrat ist r Quadrat minus h Quadrat. So ein Spaß :D Und das merken wir uns mal, denn wir brauchen das bald Denn Pi mal a Quadrat ist doch der Flächeininhalt Von dem Kreis und jetzt setzen wir die Formel dort ein Multiplizieren aus und jetzt leuchtet es doch ein Da** wir hier j**eils Pi mal irgendetwas ins Quadrat haben Also könnte man auch grad sagen Das wären zwei Kreise und man nimmt den einen weg Da kommt ein Kreisring raus, also haben wir entdeckt Da das in jeder Ebene geht, da** dann ein Körper entsteht Und der sieht aus wie ein Zylinder, wo ein Kreiskegel fehlt Mit diesem Ding, was wir uns grade konstruiert haben Machen wir wir jetzt weiter und da würde ich mal sagen: Das Volumen vom Zylinder ist Grundfläche mal Höhe Und vom Kegel ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe Die Grundfläche ist beides mal ein Kreis - Pi mal r Quadrat Und die Höhe immer r. Da merk ich grad: Pi mal r Quadrat mal r ist Pi mal r hoch drei Minus ein Drittel davon da sind wir bei Zwei Drittel Pi mal r hoch drei. OK Doch da die Schnittfläche in jeder Ebene gleich ist, seh Ich nach dem Prinzip von Cavalieri: Die Volumina sind gleich Aha. Doch da ich ja das eine bereits weiß Hat die Halbkugel demnach den gleichen Rauminhalt Zwei Drittel Pi mal r hoch drei und jetzt schau ich halt Mal auf die ganze Kugel, was ja Doppelte ist Also vier Drittel Pi mal r hoch drei. YES! [Hook] Stell dir die Kugel mal als unendlich viele Infinitesimale Pyramiden vor Die Spitzen in der Mitte, die Grundflächen außen Und da das Pyramiden sind, weißt du sofort: Das Volumen ist ein Drittel mal die Grundfläche mal r Denn der Kugelradius ist hier die Höhe und daher Gilt das in jeder Pyramide und es wird insgesamt Da die Grundflächen die Kugeloberfläche sind, interessant Denn da kommt was für die ganze Kugel her: Das Volumen ist ein Drittel mal Oberfläche mal r Doch es ist ja auch vier Drittel Pi mal r hoch drei. klar Also steht die Gleichung mit nur einer Unbekannten da Das stelln wir um, indem wir erst mit 3 multiplizieren Und schon sehen wir, wenn wir noch kurz mit r dividieren: 4 Pi mal r Quadrat ist der Oberflächeninhalt Lange Rede, kurzer Sinn: Die Formel stimmt halt [Hook]